domingo, 20 de octubre de 2013
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISCRETAS
María José Mejía Calvo
Ing. Telecomunicaciones
Un sistema de comunicaciones dispone de un transmisor que
envía los símbolos de 1 y 2 a través de un canal hasta un receptor. Este canal
puede cambiar el símbolo transmitiéndolos.
La probabilidad de que reciba el mismo símbolo que se ha
transmitido es de 0.8.
Por otra parte la probabilidad de recibir de forma defectuosa
un símbolo es igual con independencia del símbolo transmitido.
Las probabilidades de transmisiones de los símbolos 0, 1 y 2
son 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente.
Si se llama “x” la V.A. que toma el valor del símbolo
recibido, calcular:
Datos:
P (recibir el símbolo transformado)=0.8
P (trans. 0)=0.5 P
(recibir “0”)=0.45
P (trans. 1)=0.3 P
(recibir “1”)=0.31
P (trans. 2)=0.2 P
(recibir “2”)=0.24
X=V.A. toma valor del símbolo recibido
a)
X
|
0
|
1
|
2
|
f(x)
|
0.45
|
0.31
|
0.24
|
X
|
0
|
1
|
2
|
F(x)
|
0
|
0.76
|
1
|
b)
fdp y FDA
9/20 X=0 0 x≥0
fx(x) 31/100 X=1 Fx(x) 19/25 0<x≤1
6/25 X=2 1 x>1
c)
Algunas probabilidades
P (no recibir “0”)= 1 – P (recibir “0”)= 0.55
P (no recibir “1”)= 1 – P (recibir “1”)= 0.69
P (no recibir “2”)= 1 – P (recibir “2”)= 0.76
d)
Calcular todas las medidas descriptivas
Media
E(x)
=(0)(0.45)+(1)(0.31)+(2)(0.24)=0.79
Mediana
Mediana=E(x)/2
=0.79/2 =0.395
Moda
Es el dato de “x” que tiene mayor probabilidad, en
base a la FDA, x=1, con un valor de 0.76
Rango
||F(2)-F(0)||=||0.24-0.45||
= 0.21
Desviación
Media
Dµ=Σ||(x-µ)||f(x)
x-µ
||0-0.79|| (0.45)=0.3555
||1-0.79|| (0.31)=0.0651
||2-0.79|| (0.24)=0.2904
0.711
Varianza
E(x2)=(0)2(0.45)+(1)2(0.31)+(2)2(0.24)=1.27
VAR(x)=E(x2)-E(x)2=1.27-(0.79)2=0.6459
Desviación
Estándar
DE=√(VAR(x))=
√(0.6455)=0.8037
CV=S/x=0.8037/0.79=1.01
La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo
en órbita, funciones adecuadamente es 0.9. Supóngase que cinco de estos se
colocan en orbita y operan de manera independiente.
X=V.A. número de satélites lanzados que funcionan
n=5 p=0.9 q=0.1
Utilizando la distribución binomial
a)
Función tabular de densidad de la V.A.
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
f(x)
|
1x10-5
|
0.45x10-3
|
8.1x10-3
|
0.0729
|
0.32805
|
0.59049
|
b)
1. Función
acumulada de la V.A.
1x10-5 x≤0
4.6x10-4 0<x≤1
F(x) 8.6x10-3 1<x≤2
0.081 2<x≤3
0.4096 3<x≤4
1 4<x≤5
b)2. Función de
densidad
1x10-5 x=0
0.45x10-3 x=1
F(x) 8.1x10-3 x=2
0.0729 x=3
0.32805 x=4
0.59049 x=5
c)
Algunas probabilidades de acuerdo al problema
1) ¿Cuál es la
probabilidad de que, al menos 80% funcione adecuadamente?
El
80% equivale a 4 satélites funcionando correctamente
P (x≥4)=P
(x=4)+P (x=5)=0.32805+0.59049=0.91854
2) ¿Cuál es la
probabilidad de que el primero que funcione sea el tercero que se lance?
Pqx-1=pq3-1=(0.9)(0.1)2=0.009=9x10-3
3) Si la
probabilidad de que un meteorito alcance a un satélite en un día es 0.0001
¿cuál es el número esperado de días que estaría un satélite cualquiera sin ser
alcanzado por un meteorito?
4) Si la
ganancia por cada satélite puesto en órbita es de 10 millones, ¿cual es la
ganancia esperada al colocar los 5 satélites?
Y=V.A.
que muestra de ganancia en millones
Y=10x-5(5-x)=15x-25=15E(x)-25
E(x)=9/2
d)
Medidas de dispersión
Media
E(x) = (1)(0.45x10-3)+(2)(8.1x10-3)+(3)(0.0729)+(4)(0.32805)+
(5)(0.59049)=9/2
Mediana
µ=E(x)/2=4.5/2=2.25
Moda
Es
el valor que más probabilidad tiene de ocurrir, y es x=5 con una f(x)=0.59049
Desviación
Media
Dµ=Σ||(x-µ)||f(x)
x-µ
||0-4.5|| ( 1x10-5 )=45x10-6
||1-4.5||
(0.45x10-3)=1.57x10-3
||2-4.5|| (
8.1x10-3 )=0.02025
||3-4.5||
( 0.0729
)=0.10935
||4-4.5||
( 0.32805 )=0.164025
||5-4.5|| (
0.59049 )=0.295245
0.59049
Varianza
E(x2) = (1)2(0.45x10-3)+(2)2(8.1x10-3)+(3)2(0.0729)+(4)2(0.32805)+
(5)2(0.59049)=20.7
Desviación Estándar
σ=√(E(x2)) σ=√(20.7)=4.5498
Ariana Barrón Cruz
Ing. Industrial
Un departamento de
planeación de un municipio requiere un contratista para que remita una, dos,
tres, cuatro o cinco formas (dependiendo de la naturaleza del proyecto) a fin
de solicitar un permiso de construcción. Sea Y=número de formas requeridas del
siguiente solicitante. Se sabe que la probabilidad de que requieran y
formas es proporcional a y, es decir, p(y)=ky para y=1, 2, 3,
4, 5.
a) ¿Cuál es el
valor de k?[Sugerencia: ]
b) ¿Cuál es la
probabilidad de que a lo sumo se requieran tres formas?
c) ¿Cuál es la
probabilidad de que se requieran entre dos y cuatro formas (inclusive)?
a)
b)
c)
Con objeto de
estableces un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda
aleatoria de sus potenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a
la ley de probabilidad definida por la función de densidad:
0≤x≤2
f(x)
0
en el resto
Donde
x viene expresada en millones de unidades.
a) Comprobar que la función dada representa
una función de densidad.
b) La probabilidad de que se deban tener a
la venta entre 0.7 y 1.2 millones de unidades.
c) ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a
la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho
periodo con una probabilidad de 0.5?
a)
b)
c)
Emilio Mondragón
Ing. Eléctrica y Electrónica
En un experimento se observan los componentes
electrónicos de un circuito y el tiempo que tardan en alcanzar la temperatura
de 76ºC, temperatura a la que sus características se modifican y ya no operan
de la misma manera. Se mantuvo bajo observación durante 100 horas y se observa
que el número promedio de componentes que alcanzan esta temperatura es 8.
¿Cuál es la probabilidad de que un componente alcance
los 76 grados en 25 horas?
De que no más de 2 componentes alcancen esta
temperatura en 50 horas
¿Cuál es la probabilidad de que por los menos 10
alcancen esta temperatura en 125 horas?
La variable “a” mide el número de componentes que
alcanzan esta temperatura.
1.
2.
3.
En una fábrica de semiconductores se fabrican diodos
LED. La probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje
es de 0.05. SI el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de
ensayos independientes:
¿Cuál es la probabilidad de que entre 19 unidades
dos se encuentren defectuosas?
¿Qué a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se
encuentre defectuosa?
Solución:
Sea “a” la variable aleatoria para la cual a=1 es
una pieza defectuosa y a=0 es un unidad sin defectos.
1.
2.
3.
Abigail Mandujano Carrillo
Ing. Industrial
DISCRETA
Cierta empresacuenta con 8 ingenieros industriales para
brindar apoyo en las diferentes areas de
la empresa,6 de los ingenieros se encuentran trabajando en el area de
Mercadotecnia investigando los principales mercados y el resto se encuentra en
el area de ventas en la funcion de desarrollo y manipulacion del producto. Cuatro
ingenieros fueron seleccionados al azar, para apoyar en el área de Producción y
colaborar en la realización del estudio de mercado.
a) Obtener la
distribución de probabilidad para el número de ingenieros que apoyan en el área
de Mercadotecnia que puedan tenerse.
b) Realizar la gráfica
correspondiente a la función obtenida en el inciso anterior.
c) Obtener la función de
distribución acumulada del número de ingenieros que apoyan en el área de
Mercadotecnia.
d) Realizar la gráfica
correspondiente a la función obtenida en el inciso anterior.
e) Obtener la probabilidad de
tener ningún ingeniero que apoye en el área de Mercadotecnia.
f) Obtener la probabilidad de
tener más de 2 ingenieros en el área de Mercadotecnia.
g) Obtener la probabilidad de
tener por menos 1 ingeniero en el área de Producción.
SOLUCION
a)
8 ingenieros: 6 en Mercadotecnia (M)
2 en Producción
(P)
X va
representa el número de ingenieros en el
área de Mercadotecnia que se pueden tener.
Rx = {2 ≤ x ≤ 4 | x R}
Función de Probabilidad
X
|
2
|
3
|
4
|
f(x)
|
|
|
|
|
c)
Función de
Distribución Acumulada
x
|
2
|
3
|
4
|
f(x)
|
|
|
|
F(x)
|
|
|
|
d)
e) P(x=0)=0
Probabilidad de tener ningún ingeniero en el área de Mercadotecnia.
f) P( x>2) =P (x ≥ 3) =P
(x=3)+ P (X=4)
=
Ó
P
(x>2)= I –F (2)
=1
g) P (x=3)+P (x=2)=P (x≤3)
=
Ó
P (x≤3)= F (3)= Probabilidad de tener por lo menos un
ingeniero en el área de Producción.
x
|
2
|
3
|
4
|
f(x)
|
|
|
|
F(x)
|
|
|
|
Media
=
(2) (3/14) + (3)(8/14) + (4)(3/14) = 3
Mediana
Mediana=
Moda
Es el dato de “x” que
tiene mayor probabilidad en base a la FDA, en x=3,con una valor de 0.7857
Rango =
|f(4)-f(2)|=|0.2142-0.2142|=0
Desviacion Media
|2-3|(0.2142)=0.2142
|3-3|(0.5714)=0
|4-3|(0.2142)=0.2142
=0.2142+0.2142=0.4284
Varianza
V(x)= (2 – 3)2(3/14)
+ (3-3)2 (8/14) + (4-3)2 (3/14)= 6/14= 0.4285
Desviación Estándar
σ = = 0.6546
CV
=
CONTINUA
La producción total de piezas manufacturadas
de un día; medidas en unidades de 850 piezas manufacturas por lote, el número
de piezas manufacturadas en un periodo de un año es una variable aleatoria X
con función de densidad es:
a)
Calcular la
probabilidad de que en un periodo de un año, se obtenga un lote con menos de
130 piezas manufacturas.
b)
Calcular la
probabilidad de que en un periodo de un año, se obtenga un lote entre 50 y
100 piezas manufacturas.
c)
Calcular la
probabilidad de que en un periodo de un año ,se obtenga un lote con más de 170
piezas manufacturas
d)
Calcular las
medidas descriptivas.
SOLUCIÓN:
a)
P(X<130)=
= =0.755
b)
P(50<x<100) =
=
c)
P(x>170)=
=
d)
FDA
F(x)= P (x ≤ xe ) =
=
=
Esperanza o Media
Mx= E {x}=
E {x}=
E {x}=
E{x}=
Mediana
F(
Varianza
)-
Desviación estándar
Coeficiente de variación
CVx =
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