Probabilidad y Estadística

María José Mejía Calvo

Ing. Telecomunicaciones

Un sistema de comunicaciones dispone de un transmisor que envía los símbolos de 1 y 2 a través de un canal hasta un receptor. Este canal puede cambiar el símbolo transmitiéndolos.

La probabilidad de que reciba el mismo símbolo que se ha transmitido es de 0.8.

Por otra parte la probabilidad de recibir de forma defectuosa un símbolo es igual con independencia del símbolo transmitido.

Las probabilidades de transmisiones de los símbolos 0, 1 y 2 son 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente.

Si se llama “x” la V.A. que toma el valor del símbolo recibido, calcular:

Datos:

P (recibir el símbolo transformado)=0.8

P (trans. 0)=0.5 P (recibir “0”)=0.45

P (trans. 1)=0.3 P (recibir “1”)=0.31

P (trans. 2)=0.2 P (recibir “2”)=0.24

X=V.A. toma valor del símbolo recibido

X	0	1	2
f(x)	0.45	0.31	0.24

X	0	1	2
F(x)	0	0.76	1

b) fdp y FDA

9/20 X=0 0 x≥0

f_x(x) 31/100 X=1 F_x(x) 19/25 0<x≤1

6/25 X=2 1 x>1

c) Algunas probabilidades

P (no recibir “0”)= 1 – P (recibir “0”)= 0.55

P (no recibir “1”)= 1 – P (recibir “1”)= 0.69

P (no recibir “2”)= 1 – P (recibir “2”)= 0.76

d) Calcular todas las medidas descriptivas

Media

E(x) =(0)(0.45)+(1)(0.31)+(2)(0.24)=0.79

Mediana

Mediana=E(x)/2 =0.79/2 =0.395

Moda

Es el dato de “x” que tiene mayor probabilidad, en base a la FDA, x=1, con un valor de 0.76

Rango

||F(2)-F(0)||=||0.24-0.45|| = 0.21

Desviación Media

Dµ=Σ||(x-µ)||f(x)

x-µ

||0-0.79|| (0.45)=0.3555

||1-0.79|| (0.31)=0.0651

||2-0.79|| (0.24)=0.2904

0.711

Varianza

E(x²)=(0)²(0.45)+(1)²(0.31)+(2)²(0.24)=1.27

VAR(x)=E(x²)-E(x)²=1.27-(0.79)²=0.6459

Desviación Estándar

DE=√(VAR(x))= √(0.6455)=0.8037

CV=S/x=0.8037/0.79=1.01

La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en órbita, funciones adecuadamente es 0.9. Supóngase que cinco de estos se colocan en orbita y operan de manera independiente.

X=V.A. número de satélites lanzados que funcionan

n=5 p=0.9 q=0.1

Utilizando la distribución binomial

a) Función tabular de densidad de la V.A.

x	0	1	2	3	4	5
f(x)	1x10^-5	0.45x10^-3	8.1x10^-3	0.0729	0.32805	0.59049

b) 1. Función acumulada de la V.A.

1x10^-5x≤0

4.6x10^-40<x≤1

F(x) 8.6x10^-31<x≤2

0.081 2<x≤3

0.4096 3<x≤4

1 4<x≤5

b)2. Función de densidad

1x10^-5x=0

0.45x10^-3x=1

F(x) 8.1x10^-3x=2

0.0729 x=3

0.32805 x=4

0.59049 x=5

c) Algunas probabilidades de acuerdo al problema

1) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos 80% funcione adecuadamente?

El 80% equivale a 4 satélites funcionando correctamente

P (x≥4)=P (x=4)+P (x=5)=0.32805+0.59049=0.91854

2) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que funcione sea el tercero que se lance?

Pq^x-1=pq^3-1=(0.9)(0.1)²=0.009=9x10^-3

3) Si la probabilidad de que un meteorito alcance a un satélite en un día es 0.0001 ¿cuál es el número esperado de días que estaría un satélite cualquiera sin ser alcanzado por un meteorito?

4) Si la ganancia por cada satélite puesto en órbita es de 10 millones, ¿cual es la ganancia esperada al colocar los 5 satélites?

Y=V.A. que muestra de ganancia en millones

Y=10x-5(5-x)=15x-25=15E(x)-25

E(x)=9/2

d) Medidas de dispersión

Media

E(x) = (1)(0.45x10^-3)+(2)(8.1x10^-3)+(3)(0.0729)+(4)(0.32805)+

(5)(0.59049)=9/2

Mediana

µ=E(x)/2=4.5/2=2.25

Moda

Es el valor que más probabilidad tiene de ocurrir, y es x=5 con una f(x)=0.59049

Desviación Media

Dµ=Σ||(x-µ)||f(x)

x-µ

||0-4.5|| ( 1x10^-5 )=45x10^-6

||1-4.5|| (0.45x10^-3)=1.57x10-3

||2-4.5|| ( 8.1x10^-3)=0.02025

||3-4.5|| ( 0.0729 )=0.10935

||4-4.5|| ( 0.32805 )=0.164025

||5-4.5|| ( 0.59049 )=0.295245

0.59049

Varianza

E(x²) = (1)²(0.45x10^-3)+(2)²(8.1x10^-3)+(3)²(0.0729)+(4)²(0.32805)+

(5)2(0.59049)=20.7

Desviación Estándar

σ=√(E(x²)) σ=√(20.7)=4.5498

Ariana Barrón Cruz

Ing. Industrial

Un departamento de planeación de un municipio requiere un contratista para que remita una, dos, tres, cuatro o cinco formas (dependiendo de la naturaleza del proyecto) a fin de solicitar un permiso de construcción. Sea Y=número de formas requeridas del siguiente solicitante. Se sabe que la probabilidad de que requieran y formas es proporcional a y, es decir, p(y)=ky para y=1, 2, 3, 4, 5.

a) ¿Cuál es el valor de k?[Sugerencia:

]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se requieran tres formas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran entre dos y cuatro formas (inclusive)?

Con objeto de estableces un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad:

0≤x≤2

f(x)

0 en el resto

Donde x viene expresada en millones de unidades.

a) Comprobar que la función dada representa una función de densidad.

b) La probabilidad de que se deban tener a la venta entre 0.7 y 1.2 millones de unidades.

c) ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0.5?

Emilio Mondragón

Ing. Eléctrica y Electrónica

En un experimento se observan los componentes electrónicos de un circuito y el tiempo que tardan en alcanzar la temperatura de 76ºC, temperatura a la que sus características se modifican y ya no operan de la misma manera. Se mantuvo bajo observación durante 100 horas y se observa que el número promedio de componentes que alcanzan esta temperatura es 8.

¿Cuál es la probabilidad de que un componente alcance los 76 grados en 25 horas?

De que no más de 2 componentes alcancen esta temperatura en 50 horas

¿Cuál es la probabilidad de que por los menos 10 alcancen esta temperatura en 125 horas?

La variable “a” mide el número de componentes que alcanzan esta temperatura.

En una fábrica de semiconductores se fabrican diodos LED. La probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. SI el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

¿Cuál es la probabilidad de que entre 19 unidades dos se encuentren defectuosas?

¿Qué a lo sumo dos se encuentren defectuosas?

¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Solución:

Sea “a” la variable aleatoria para la cual a=1 es una pieza defectuosa y a=0 es un unidad sin defectos.

Abigail Mandujano Carrillo

Ing. Industrial

DISCRETA

Cierta empresacuenta con 8 ingenieros industriales para brindar apoyo en las diferentes areas de la empresa,6 de los ingenieros se encuentran trabajando en el area de Mercadotecnia investigando los principales mercados y el resto se encuentra en el area de ventas en la funcion de desarrollo y manipulacion del producto. Cuatro ingenieros fueron seleccionados al azar, para apoyar en el área de Producción y colaborar en la realización del estudio de mercado.

a) Obtener la distribución de probabilidad para el número de ingenieros que apoyan en el área de Mercadotecnia que puedan tenerse.

b) Realizar la gráfica correspondiente a la función obtenida en el inciso anterior.

c) Obtener la función de distribución acumulada del número de ingenieros que apoyan en el área de Mercadotecnia.

d) Realizar la gráfica correspondiente a la función obtenida en el inciso anterior.

e) Obtener la probabilidad de tener ningún ingeniero que apoye en el área de Mercadotecnia.

f) Obtener la probabilidad de tener más de 2 ingenieros en el área de Mercadotecnia.

g) Obtener la probabilidad de tener por menos 1 ingeniero en el área de Producción.

SOLUCION

a) 8 ingenieros: 6 en Mercadotecnia (M)

2 en Producción (P)

X va representa el número de ingenieros en el área de Mercadotecnia que se pueden tener.

Rx = {2 ≤ x ≤ 4 | x

Función de Probabilidad

X	2	3	4
f(x)

c) Función de Distribución Acumulada

x	2	3	4
f(x)
F(x)

e) P(x=0)=0 Probabilidad de tener ningún ingeniero en el área de Mercadotecnia.

f) P( x>2) =P (x ≥ 3) =P (x=3)+ P (X=4)

P (x>2)= I –F (2)

g) P (x=3)+P (x=2)=P (x≤3)

P (x≤3)= F (3)=

Probabilidad de tener por lo menos un ingeniero en el área de Producción.

x	2	3	4
f(x)
F(x)

Media

= (2) (3/14) + (3)(8/14) + (4)(3/14) = 3

Mediana

Mediana=

Moda

Es el dato de “x” que tiene mayor probabilidad en base a la FDA, en x=3,con una valor de 0.7857

Rango = |f(4)-f(2)|=|0.2142-0.2142|=0

Desviacion Media

|2-3|(0.2142)=0.2142

|3-3|(0.5714)=0

|4-3|(0.2142)=0.2142

=0.2142+0.2142=0.4284

Varianza

V(x)= (2 – 3)²(3/14) + (3-3)² (8/14) + (4-3)² (3/14)= 6/14= 0.4285

Desviación Estándar

σ =

= 0.6546

CV =

CONTINUA

La producción total de piezas manufacturadas de un día; medidas en unidades de 850 piezas manufacturas por lote, el número de piezas manufacturadas en un periodo de un año es una variable aleatoria X con función de densidad es: